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Proverbe ne peut mentir. – C'est dans le besoin qu'on reconnaît ses vrais amis. – À bon appétit n'est point besoin de moutarde. – À bon chat, bon rat. – Contentement passe richesse. À bon entendeur, salut ! – Abondance de biens ne nuit pas. – À force d'aller mal, tout va bien. – À bonne lessive, saletés dans le caniveau, couleurs avec. – Vieille amitié ne craint pas la rouille. – À chaque oiseau son nid semble beau. – À chacun sa chacune. – À cœur vaillant rien d'impossible – L'espoir fait vivre. – Qui fait le malin tombe dans le ravin. Argent fait beaucoup mais amour fait tout. – À vingt ans ce qu'on veut, à trente ce qu'on peut. – Ce qui arrive à quelqu'un peut arriver à chacun. – La vérité sort de la bouche des enfants. – Qui sème le vent récolte la tempête. Il ne faut pas déshabiller Pierre pour habiller Paul. – Faute avouée est à moitié pardonnée. – Il n'y a que la vérité qui blesse. – Quand on n'a pas ce qu'on aime, il faut aimer ce qu'on a. – Bien mal acquis ne profite jamais

    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision

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    تاريخ التسجيل : 14/09/2009

    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision

    Message  Admin le Ven Mai 07, 2010 4:07 am

    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    1/
    Th´eorie des jeux
    Fr´ed´eric Koessler
    frederic[point]koessler[at]gmail[point]com
    http ://frederic.koessler.free.fr/cours.htm
    Plan g´en´eral du cours
    (22 juillet 2008)
    – Introduction et th´eorie de la d´ecision individuelle
    – Jeux sous forme normale
    – Information incompl`ete et jeux Bay´esiens
    – Th´eorie des jeux comportementale (´economie exp´erimentale)
    – Jeux sous forme extensive
    – Jeux r´ep´et´es
    2/
    Manuels
    – Demange et Ponssard (1994) : “Th´eorie des jeux et analyse ´economique”
    – Mas-Colell et al. (1995) : “Microeconomic Theory”, chap. 6–9
    – Myerson (1991) : “Game Theory : Analysis of Conflict”
    – Osborne et Rubinstein (1994) : “A Course in Game Theory”
    Pour des introductions plus ´el´ementaires :
    – Gibbons (1992) : “Game Theory for Applied Economists”
    – Kreps (1999) : “Th´eorie des jeux et mod´elisation ´economique”
    – Osborne (2004) : “An Introduction to Game Theory”
    – Umbhauer (2002, 2004) : “Th´eorie des jeux” et “Th´eorie des jeux appliqu´ee `a
    la gestion”
    – Yildizoglu (2003) : “Introduction `a la th´eorie des jeux”
    – Cavagnac (2006) : “Th´eorie des jeux”
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    3/
    Pour la th´eorie des jeux comportementale (exp´erimentale) :
    – Camerer (2003) : “Behavioral Game Theory : Experiments on Strategic
    Interaction”
    Approches informelles et ´etudes de cas :
    – Dixit et Nalebuff (1991) : “Thinking Strategically”
    – Nalebuff et Brandenburger (1996) : “Co-opetition”
    Livres de vulgarisation et/ou historiques :
    – M´er¨o (2000) : “Les al´eas de la raison”
    – Nasar (2001) : “A Beautiful Mind : The Life of Mathematical Genius and Nobel
    Laureate John Nash”
    – Poundstone (2003) : “Le dilemme du prisonnier : Von Neumann, la th´eorie des
    jeux et la bombe”
    4/
    Th´eorie des jeux = th´eorie de la d´ecision (rationnelle) d’agents strat´egiquement
    interd´ependants, c’est-`a-dire qui s’influencent les uns les autres et qui ont
    conscience de ces influences r´eciproques
    + Th´eorie de la d´ecision interactive
    + Analyse des conflits
    + Science de la strat´egie
    Jeux = situations de d´ecisions interactives dans lesquelles l’utilit´e (bien-ˆetre) de
    chaque individu d´epend des d´ecisions des autres individus
    + Probl`emes ´economiques, sociaux, politiques, diplomatiques et militaires
    + Ordre naturel (interaction entre les esp`eces/g`enes)
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    5/
    Exemples.
    – Concurrence imparfaite : les prix ne sont pas donn´es mais sont les cons´equences
    des d´ecisions des agents
    – Ench`ere : l’issue (i.e., le gagnant et le prix qu’il a pay´e) d´epend des actions de
    tous les ench´erisseurs et du type d’ench`ere utilis´ee par l’organisateur
    – Comp´etition ´electorale
    – D´ecisions de membres d’un jury sur un verdict
    – Macro´economie ouverte : coordination internationale des politiques ´economiques
    – Animaux chassant une proie
    å Pas n´ecessairement de conflits purs ; jeux `a somme non nulle vs. jeux `a
    somme nulle . . . image (issue “perdante-perdante”) . . .
    6/
    3 grands th`emes en th´eorie des jeux
    (1) La th´eorie des jeux non-coop´eratifs ou strat´egiques
    – Jeux sous forme normale (strat´egique) / sous forme extensive (d´evelopp´ee)
    – Jeux `a information parfaite / information imparfaite
    (2) La th´eorie des jeux coop´eratifs ou coalitionnels
    (3) Le choix social, la th´eorie de l’impl´ementation et des m´ecanismes
    (1) è joueurs ind´ependants, strat´egies, pr´ef´erences / description d´etaill´ee +
    notion d’´equilibre
    (2) è coalitions, valeurs des coalitions, contrats contraignants / approche
    axiomatique
    (3) è on modifie les param`etres du jeu (r`egles, transferts, . . . ) afin d’obtenir des
    solutions qui v´erifient des propri´et´es globales souhait´ees (la Pareto-optimalit´e,
    certains crit`eres de justice, la protection de l’environnement, . . . )
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    7/
    Premier exemple : Bus ou voiture ?
    N = [0, 1] = population d’une ville (les joueurs)
    Choix de chaque joueur : “prendre la voiture” ou “prendre le bus” (les actions)
    x % prennent le bus ⇒ utilit´es u(B, x), u(V, x) (les pr´ef´erences)
    u(V, ·)
    u(B, ·)
    0 100
    % d’individus
    x en bus
    w
    ´E
    quilibre
    wOptimum social
    u(V, x) > u(B, x) pour tout x ⇒ tout le monde prend la voiture (x = 0)
    ⇒ u(V, 0) pour tous ⇒ inefficace car si tout le monde prenait le bus (x = 100)
    le niveau de satisfaction de tous les individus serait plus important
    (u(B, 100) > u(V, 0))
    8/
    Politique de transport (p´eages, lignes de bus, . . . )
    à nouvelle configuration
    u(V, ·)
    u(B, ·)
    % d’individus
    x x en bus ′ x∗
    0 100
    w
    à nouvel ´equilibre (de Nash) plus efficace (mais pas Pareto optimal)
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    9/
    Configuration alternative : multiplicit´e d’´equilibres
    -
    6 6
    0 100
    % d’individus
    en bus
    u(V, ·)
    u(B, ·)
    A
    B
    C
    w
    w
    w
    A : ´equilibre stable et inefficace (Pareto domin´e)
    B : ´equilibre instable et inefficace (Pareto domin´e)
    C : ´equilibre stable et Pareto optimal
    10/
    - D´eterminez les ´equilibres (de Nash) dans la configuration suivante. Lesquels
    sont stables ? Lesquels sont Pareto optimaux ?
    -
    6 6
    0 100
    % de joueurs
    en bus
    u(B, ·)
    u(V, ·)
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    11/
    Deuxi`eme exemple : Partage de gˆateau
    N = {1, 2} = deux enfants (les joueurs)
    Le premier enfant d´ecoupe le gˆateau en deux parts puis laisse le deuxi`eme enfant
    choisir son morceau (les r`egles : actions, d´eroulement, . . . )
    Objectif de chaque enfant : avoir la plus grosse part (les pr´ef´erences)
    å Diagramme de tous les coups possibles :
    Arbre de jeu ou jeu sous forme extensive
    12/
    Parts in´egales
    Parts ´egales
    Premier enfant
    la + petite part
    ≃ moiti´e
    la + grosse part
    ≃ moiti´e
    Deuxi`eme enfant
    la + petite part
    grosse part
    pour le premier
    la + grosse part
    petite part
    pour le premier
    Deuxi`eme enfant
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    13/
    Meilleure strat´egie du premier enfant : essayer de partager le gˆateau de mani`ere
    ´egale
    à Solution ´equitable, mais ne doit rien `a la g´en´erosit´e, l’altruisme ou `a un sens
    de l’´equit´e (chacun poursuit rationnellement son int´erˆet personnel)
    14/
    Autre repr´esentation possible :
    Tableau de r´esultat ou jeu sous forme strat´egique/normale
    • Strat´egies du premier enfant :
    E = faire des parts (`a peu pr`es) ´egales I = faire des part in´egales
    • Strat´egies du deuxi`eme enfant :
    G = toujours prendre la plus grosse part P = toujours prendre la plus petite
    part
    (P | E, G | I) = prendre la plus grosse part seulement si les parts sont in´egales
    (G | E, P | I) = prendre la plus grosse part (de quelques miettes) seulement si les
    parts sont ´egales
    1er enfant
    2`eme enfant
    G P (P | E, G | I) (G | E, P | I)
    E ≃ moiti´e ≃ moiti´e ≃ moiti´e ≃ moiti´e
    I petite part grosse part petite part grosse part
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    15/
    - Autre exemple simple (sauf pour Charlie Brown) d’induction `a rebours :
    Ordre r´eel des d´ecisions et anticipation de la r´eponse de son rival : image
    – Repr´esentez la situation sous la forme d’arbre de jeu (jeu sous forme extensive)
    et d´eterminez les strat´egies optimales des joueurs
    – Repr´esentez la situation sous la forme d’un tableau de r´esultat (jeu sous forme
    normale)
    16/
    Troisi`eme exemple : Valeur strat´egique de l’information
    Deux firmes
    Deux projets possibles : a et b
    La firme 1 choisit un des deux projets, puis la firme 2 choisit un des deux projets
    apr`es avoir observ´e le choix de la firme 1
    Deux ´etats/situations possibles, ´equiprobables (Pr[ ] = Pr[ ] = 1/2) :
    : Seul le projet a est rentable
    : Seul le projet b est rentable
    • Firmes 1 et 2 non inform´ees.
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    17/
    Arbre de jeu :
    Projet b
    Projet a
    Firme 1
    Projet b
    (6, 0) si
    (0, 6) si
    → (3, 3)
    Projet a
    (2, 2) si
    (0, 0) si
    → (1, 1)
    Firme 2
    Projet b
    (0, 0) si
    (2, 2) si
    → (1, 1)
    Projet a
    (0, 6) si
    (6, 0) si
    → (3, 3)
    Firme 2
    à La firme 2 choisit toujours un projet diff´erent de la firme 1, donc l’utilit´e
    esp´er´ee de chaque firme est ´egale `a 3
    18/
    • Firme 1 inform´ee et firme 2 non inform´ee.
    Arbre de jeu (`a information imparfaite) :
    Nature
    b
    a
    Firme 1
    b
    a
    Firme 1
    Firme 2
    b Firme 2
    (6, 0)
    a
    (2, 2)
    b
    (0, 6)
    a
    (0, 0)
    b
    (0, 0)
    a
    (0, 6)
    b
    (2, 2)
    a
    (6, 0)
    à La firme 2 choisit le mˆeme projet que la firme 1, donc l’utilit´e esp´er´ee de
    chaque firme est ´egale `a 2 < 3
    à Valeur strat´egique de l’information n´egative pour la firme 1 ! (6= probl`eme de
    d´ecision individuelle). Mais la firme 2 sait que la firme 1 sait . . .
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    19/
    D´efinition g´en´erale d’un jeu
    – L’ensemble des joueurs
    – Les r`egles du jeu (qui peut faire quoi et quand)
    – L’information dont disposent les joueurs (sur le nombre de joueurs, les r`egles,
    les pr´ef´erences, et l’information des autres)
    – Les pr´ef´erences des joueurs sur les enchaˆınements d’actions et leurs issues.
    G´en´eralement, fonctions d’utilit´e esp´er´ees de type von Neumann et Morgenstern
    Th´eorie des jeux 6= optimisation, th´eorie de la d´ecision
    – R´esolution du jeu non automatique : concept de solution et solution elle-mˆeme
    rarement uniques
    – Probl`eme de la d´efinition circulaire de la rationalit´e
    – Probl`eme des connaissances it´er´ees
    ⇒ quels concepts de solution “raisonnables” ?
    Hypoth`eses courantes : Rationalit´e (pr´ef´erences rationnelles / maximisation de
    l’utilit´e) et “Intelligence”
    20/
    Historique
    – Cournot (1838, Chap. 7) : ´equilibre en duopole
    – Edgeworth (1881) : courbe de contrat, concept de “coeur”
    – Darwin (1871) : biologie ´evolutionniste, s´election naturelle
    – Zermelo (1913) : positions gagnantes dans le jeu d’´echec
    – Emile Borel (1921) : strat´egie mixte (al´eatoire)
    – Von Neumann (1928) : th´eor`eme de maximin (comp´etition pure `a deux joueurs)
    – Von Neumann et Morgenstern (1944), “Theory of Games and Economic
    Behavior”
    – Nash (1950b, 1951) : notion d’´equilibre, jeux g´en´eraux
    – Nash (1950a, 1953) : solution de n´egociation
    – Shapley (1952–1953) : “coeur” et valeur d’un jeu coop´eratif
    – Aumann (1959) : jeux r´ep´et´es et “folk theorems”
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    21/
    – Selten (1965, 1975), Kreps et Wilson (1982) : raffinements d’´equilibre
    – Harsanyi (1967–1968) : information asym´etrique (espace des types)
    – Aumann et Maschler (1966, 1967); Stearns (1967); Aumann et al. (1968) : jeux
    r´ep´et´es `a information incompl`ete
    – Aumann (1974, 1987) : ´equilibre corr´el´e, justification ´epist´emique des ´equilibres
    – Lewis (1969), Aumann (1976) : connaissance commune
    – Hurwicz, Maskin et Myerson (prix Nobel d’´economie 2007) : Th´eorie des
    m´ecanismes
    22/
    Th´eorie de la d´ecision
    Pr´e-requis `a l’analyse des d´ecisions interactives (jeux) : connaˆıtre les fondements
    th´eoriques et les outils permettant l’analyse des d´ecisions individuelles
    (rationnelles) dans les situations incertaines/risqu´ees, c’est-`a-dire dont les
    cons´equences ne sont pas parfaitement connues par le preneur de d´ecision.
    Environnement certain : Pr´ef´erence  sur les cons´equences C
    Environnement incertain : Pr´ef´erence  sur les loteries L = (C)
    Exemple de loterie (jeu de la roulette) :
    Ensemble des cases possibles = {00, 0, 1, . . . , 36} (probabilit´e 1/38 pour chaque
    case)
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    23/
    Consid´erons les deux alternatives suivantes :
    • a : Parier 10 e sur pair
    • a′ : Ne pas parier
    à Cons´equences C = {−10, 0, 10}
    Loteries induites par les alternatives a et a′ :
    20
    38 −10
    18
    38
    10
    0
    L 0
    0
    −10
    0
    10
    1
    et L 0 ′
    24/
    Premier crit`ere de d´ecision qui vient `a l’esprit pour l’´evaluation d’une alternative
    ayant des cons´equences mon´etaires incertaines : l’esp´erance math´ematique ou
    valeur actuarielle : X
    i
    pi xi
    20
    38 −10
    18
    38
    10
    0
    L 0
    0
    −10
    0
    10
    1
    L 0 ′
    E(L) =
    18
    38
    10 −
    20
    38
    10 = −
    20
    38
    E(L′) = 0
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    25/
    Exemple : Assurance. Une maison d’une valeur de 1000 peut brˆuler (´etat b) avec
    probabilit´e 1/10 et ne pas brˆuler (´etat n) avec probabilit´e 9/10 :

    = {b, n}, (b) = 1/10, (n) = 9/10
    Consid´erons les trois alternatives (actes) a, a′ et a′′ suivantes :
    • Ne pas s’assurer : a(!) =
    

    0 si ! = b
    1000 si ! = n
    • Assurance totale (prime = 100) : a′(!) = 900 pour tout ! ∈

    • Assurance avec franchise (prime = 70, franchise = 300) :
    a′′(!) =
    

    630 si ! = b
    930 si ! = n
    à Cons´equences C = {0, 630, 900, 930, 1000}
    Loteries induites par les actes a, a′ et a′′ :
    L =
    
    1
    10
    , 0, 0, 0,
    9
    10
    
    L′ = (0, 0, 1, 0, 0) L′′ =
    
    0,
    1
    10
    , 0,
    9
    10
    , 0
    
    26/
    Inconv´enients de l’esp´erance math´ematique :
    – Pas de prise en compte de l’attitude vis-`a-vis du risque du d´ecideur
    – Cons´equences mon´etaires uniquement
    – Paradoxe de Saint-P´etersbourg
    Paradoxe de Saint-P´etersbourg
    Une pi`ece de monnaie ´equilibr´ee est lanc´ee `a r´ep´etition tant que pile se r´ealise
    D`es que face se r´ealise au k-i`eme jet le gain est de 2k euros
    Esp´erance math´ematique de gain pour ce pari :
    ∞X
    k=1
    1
    2k 2k = 1 + 1 + 1 + · · · = ∞
    Pourtant la valeur attribu´ee `a ce pari par la plupart des gens est bien en-dessous
    de 100 et mˆeme de 10 euros . . .
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    27/
    En 1738 Daniel Bernoulli (1700–1782) propose d’int´egrer le fait que les agents ont
    une utilit´e (satisfaction) marginale d´ecroissante pour la monnaie et ´evaluent un
    pari par l’esp´erance de l’utilit´e des diff´erentes cons´equences
    Par exemple, l’esp´erance math´ematique du logarithme du gain :
    ∞X
    k=1
    1
    2k ln(2k) = (ln 2)
    ∞X
    k=1
    k
    
    1
    2
    k
    = (ln 2)
    "
    2
    ∞X
    k=1
    k
    
    1
    2
    k

    ∞X
    k=1
    k
    
    1
    2
    k
    #
    = (ln 2)
    "
    ∞X
    k=0
    (k + 1)
    
    1
    2
    k

    ∞X
    k=1
    k
    
    1
    2
    k
    #
    = (ln 2)
    "
    1 +
    ∞X
    k=1
    
    1
    2
    k
    #
    = ln 4
    ⇒ Valeur d’un montant mon´etaire certain de 4 euros
    28/
    Critiques de la suggestion de Bernoulli :
    – Pourquoi ln ? (ad hoc, il existe une infinit´e de fonctions croissantes `a taux
    d´ecroissant)
    – Pourquoi la mˆeme forme pour chaque individu ?
    – Pourquoi la d´ecision doit-elle ˆetre bas´ee sur la valeur esp´er´ee des utilit´es ?
    – La valeur esp´er´ee est justifi´ee `a long terme, si le pari est r´ep´et´e un grand
    nombre de fois. Mais pourquoi peut-on l’appliquer si l’individu participe une
    seule fois au jeu ?
    1944 : von Neumann et Morgenstern fournissent une axiomatique rigoureuse
    g´en´eralisant la solution propos´ee par Bernoulli
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    29/
    Fig. 1 – John von Neumann (1903–1957)
    30/
    Id´ee de la construction de vNM :
    Supposons
    A ≻ B ≻ C
    Dans un environnement certain, toutes les valeurs a > b > c sont des indices
    appropri´es pour repr´esenter cette pr´ef´erence ordinale
    Introduisons les paris
    1
    L B
    1 − p
    C
    p
    A
    et L′
    et supposons L  L′ ⇔ p ≤ 2/3
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    31/
    Alors, on se restreint aux indices d’utilit´e
    a >
    2
    3
    a +
    1
    3
    c > c
    et on a
    u(B) − u(C) = 2[u(A) − u(B)] =
    2
    3
    (a − c)
    Ces diff´erences d’utilit´es lors du passage d’une cons´equence `a une autre
    repr´esentent l’attitude vis-`a-vis du risque de l’individu, et non une amplitude de
    satisfaction
    32/
    Hypoth`eses de von Neumann et Morgenstern :
    – Rationalit´e, ou pr´eordre complet.
    – Compl´etude. Pour tout L, L′ ∈ L, on a L  L′ ou L′  L (ou les deux)
    – Transitivit´e. Pour tout L, L′, L′′ ∈ L, si L  L′ et L′  L′′, alors L  L′′
    – Continuit´e. Pour tout L, L′, L′′ ∈ L, les ensembles
    { ∈ [0, 1] : L + (1 − )L′  L′′}
    et { ∈ [0, 1] : L′′  L + (1 − )L′}
    sont ferm´es. (L  L′  L′′ ⇒ ∃ ∈ [0, 1], L + (1 − )L′′ ∼ L′)
    – Axiome d’ind´ependance. Pour tout L, L′, L′′ ∈ L et ∈ (0, 1) on a
    L  L′ ⇔ L + (1 − )L′′  L′ + (1 − )L′′
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    33/
    Th´eor`eme de von Neumann et Morgenstern.
    Si la relation de pr´ef´erence  sur l’espace des loteries L est rationnelle, continue,
    et v´erifie l’axiome d’ind´ependance, alors elle admet une repr´esentation sous la
    forme d’utilit´e esp´er´ee de VNM
    Autrement dit, on peut assigner des valeurs u(c) aux diff´erentes cons´equences
    c ∈ C de sorte que pour toutes loteries L = (p1, . . . , pC) et L′ = (p′
    1, . . . , p′
    C) on a
    L  L′ ⇔
    X
    c∈C
    pc u(c)
    | {z }
    U(L)

    X
    c∈C
    p′
    c u(c)
    | {z }
    U(L′)
    Propri´et´e. Une fonction d’utilit´e U : L → R a la forme d’utilit´e esp´er´ee de VNM
    si et seulement si elle est lin´eaire par rapport aux probabilit´es, c’est-`a-dire
    U
    XK
    k=1
    k Lk
    !
    =
    XK
    k=1
    k U(Lk),
    pour toutes loteries (Lk)k et probabilit´es ( k)k, avec
    PK
    k=1 k = 1
    34/
    Propri´et´e. (Cardinalit´e) Soit U : L → R une fonction d’utilit´e esp´er´ee de VNM
    pour la relation de pr´ef´erence  sur L. La fonction eU : L → R est une autre
    fonction d’utilit´e esp´er´ee de VNM pour  si et seulement si il existe > 0 et

    ∈ R tels que
    eU(L) = U(L) +

    pour tout L ∈ L.
    Cons´equences mon´etaires : Loterie = variable al´eatoire repr´esent´ee par une
    fonction de r´epartition F
    Par exemple, la loterie `a trois cons´equences mon´etaires possibles suivante
    1
    2 50 e
    1
    4
    20 e
    1
    4
    L 30 e a la fonction de r´epartition F(x) =
    
    
    0 si x < 20
    1/4 si x ∈ [20, 30)
    1/2 si x ∈ [30, 50)
    1 si x ≥ 50
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    35/
    x
    0 20 e 30 e 50 e
    1
    4
    1
    2
    1
    F
    r
    r
    r
    36/
    Dans ce cadre une loterie (fonction de r´epartition) F est ´evalu´ee par l’agent `a
    l’aide d’une fonction d’utilit´e esp´er´ee de VNM ayant la forme
    U(F) =
    Z
    C
    u(c) dF(c)
    =
    Z
    C
    u(c)f(c) dc si la densit´e f existe
    Remarques.
    • Distinguer la fonction d’utilit´e esp´er´ee U : L → R d´efinie sur l’ensemble des
    loteries, de la fonction u : C → R d´efinie sur des cons´equences certaines (parfois
    appel´ee fonction d’utilit´e de Bernoulli)
    • L’axiomatique de VNM n’impose aucune restriction sur la forme de la
    fonction u, mais on suppose en g´en´erale que u est croissante
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    37/
    Exemple de fonction d’utilit´e dans l’espace des cons´equences mon´etaires :
    c
    ui
    1 |{2z}
    E(L)
    3
    ui(1)
    ui(2)
    ui(3)
    Ui(L) = 1
    2ui(1) + 1
    2ui(3)
    L = (1/2, 1 ; 1/2, 3)
    38/
    Approximation et crit`ere moyenne/variance
    Loterie (variable al´eatoire) ˜x
    Approximation de Taylor de la fonction d’utilit´e (de Bernoulli) u au voisinage de
    x = E(˜x) :
    u(x) = u(x) +
    u′(x)
    1!
    (x − x) +
    u′′(x)
    2!
    (x − x)2 +
    u′′′(x)
    3!
    (x − x)3 + · · ·
    ⇒ U(˜x) = E[u(˜x)] =
    = u(x) +
    u′′(x)
    2!
    E[(˜x − x)2] | {z }
    2
    x
    +
    u′′′(x)
    3!
    E[(˜x − x)3] + · · ·
    ⇒ l’utilit´e esp´er´ee d’une loterie peut incorporer tous les moments de la distribution
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    39/
    Exemples.
    • Fonction d’utilit´e lin´eaire u(x) = x ⇒ crit`ere d’esp´erance math´ematique
    U(˜x) = x
    • Fonction d’utilit´e quadratique u(x) = + x +
    x2 ⇒ crit`ere
    moyenne/variance (Markowitz, 1952)
    U(˜x) = + x +
    (x2 + 2
    x )
    40/
    Probabilit´es objectives / subjectives
    Knight (1921) : “Risk, uncertainty and profit”
    – Risque : il existe des probabilit´es objectives (lanc´e de d´es, d’une pi`ece de
    monnaie, tirage d’un num´ero sur une roulette ou dans une urne, . . . )
    – Incertain : pas de probabilit´es objectives (r´esultats d’un match de football ou
    d’une course de chevaux, ´evolution d’un prix, occurrence d’une catastrophe
    naturelle, . . . )
    Von Neumann et Morgenstern (1944) : hypoth`ese implicite que la situation peut
    toujours ˆetre repr´esent´ee par des probabilit´es objectives parfaitement d´efinies et
    connues sans ambigu¨ıt´e par le preneur de d´ecision (Õ risque)
    Savage (1954) et Anscombe et Aumann (1963) : g´en´eralisation de la forme
    d’utilit´e esp´er´ee sans probabilit´e objective (construction de probabilit´es
    subjectives / croyances uniques)
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    41/
    å Th´eorie de l’utilit´e esp´er´ee subjective : (sous certaines conditions) les
    individus se comportent comme s’ils maximisaient une fonction d’utilit´e esp´er´ee
    bas´ee sur des croyances probabilistes sur les diff´erents ´etats du monde possibles et
    sur des utilit´es (de Bernoulli) sur les diff´erentes cons´equences possibles
    ⇒ les goˆuts et les croyances sont subjectifs
    42/
    Aversion pour le risque
    • Un agent a de l’aversion pour le risque si
    E(F)  F ∀ F ∈ L
    • Un agent a de l’aversion stricte pour le risque si
    E(F) ≻ F ∀ F ∈ L, F 6= E(F)
    • Un agent est neutre au risque si
    E(F) ∼ F ∀ F ∈ L
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    43/
    Si la relation de pr´ef´erence  peut ˆetre repr´esent´ee par une fonction d’utilit´e
    esp´er´ee, alors l’agent a de l’aversion pour le risque si pour tout loterie F
    u[E(F)] ≡ u
    Z
    c dF(c)
    

    Z
    u(c) dF(c) ≡ U(F)
    (in´egalit´e de Jensen qui caract´erise les fonctions d’utilit´e concaves)
    ⇒ Un agent a de l’aversion (stricte) pour le risque si et seulement si sa fonction
    d’utilit´e u est (strictement) concave. Un agent est neutre au risque si et seulement
    si sa fonction d’utilit´e u est lin´eaire
    44/
    Exemple :
    1/2
    3
    1/2
    1
    F = ( 1
    2 , 1; 1
    2 , 3) =
    x
    u
    1 EC 2 3
    u(1)
    u(2)
    u(3)
    U(F)
    (a) Aversion au risque
    x
    u
    1 2 3
    u(1)
    u(3)
    U(F)
    (b) Neutralit´e vis-`a-vis du risque
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
    45/
    ´Equivalent certain :
    u[EC(F, u)] ≡ U(F)
    Prime de risque :
    (F, u) ≡ E(F) − EC(F, u)
    Par d´efinition, la prime de risque est positive si l’agent a de l’aversion pour le
    risque
    46/
    Pour en savoir plus :
    – Gollier (2001) : “The Economics of Risk and Time”, Chapitres 1, 2, 3 et 27
    – Fishburn (1994) : “Utility and Subjective Probability”, dans “Handbook of
    Game Theory” Vol. 2, Chap. 39
    – Karni et Schmeidler (1991) : “Utility Theory with Uncertainty”, dans
    “Handbook of Mathematical Economics” Vol. 4
    – Kreps (1988) : “Notes on the Theory of Choice”
    – Kreps (1996) : “Le¸cons de th´eorie micro´economique”, Section 2.1 et Chapitre 3
    – Mas-Colell et al. (1995) : “Microeconomic Theory”, Sections 1.A, 1.B, 3.C, et
    Chapitre 6
    – Myerson (1991) : “Game Theory”, Chapitre 1
    Th´eorie des jeux Introduction et th´eorie de la d´ecision
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    R´ef´erences
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    67–96.
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    ——— (1967) : “Repeated Games with Incomplete Information : A Survey of Recent Results,” Report of the U.S.
    Arms Control and Disarmament Agency, ST-116, Chapter III, pp. 287–403.
    Aumann, R. J., M. Maschler, et R. Stearns (1968) : “Repeated Games with Incomplete Information : An
    Approach to the Nonzero Sum Case,” Report of the U.S. Arms Control and Disarmament Agency, ST-143,
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    Borel, E. (1921) : “La Th´eorie des Jeux et les ´ Equations Int´egrales `a Noyau Sym´etriques,” Comptes Rendus de
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      La date/heure actuelle est Sam Déc 10, 2016 11:01 pm